一、凸函数的性质及其在不等式证明中的应用（论文文献综述）
吕庆国[1]（2021）在《网络化系统分布式优化和隐私保护研究》文中研究指明近年来,传感技术、通信网络和数字系统的快速发展推动大规模网络化系统的出现,如传感网、移动网和互联网。这些网络化系统反过来又产生新的应用领域,如智能电力网络、社会和经济网络、流行病网络和机器人网络等。这些应用通常需要各种优化技术来解决网络本身所存在的核心优化问题,包括资源分配、参数估计和机器学习等。因此,开发新的技术解决大规模网络化系统的优化问题变得至关重要。由于网络化系统的分布性,传统的集中式方法不适合解决这些大规模优化问题。一方面,集中式框架受性能限制,如较高的通信和计算要求、单点故障以及有限的灵活性和可扩展性。另一方面,将以分布式方式收集的数据传输到中心节点的成本过高,且可能造成敏感信息（隐私）泄露。因此,研究分布式优化算法解决大规模网络化系统的优化问题成为必然。此外,大数据应用的出现进一步激发科研人员对分布式优化日益增长的兴趣。本文针对当前网络化系统分布式优化问题,致力于从有效性（通信和计算）和隐私性的角度研究高效的分布式优化算法。主要结果包含以下几个方面:（1）研究了网络化系统分布式组合（光滑和非光滑函数之和）约束优化问题。受现代机器学习中大规模信息处理问题（训练数据集的样本随机分布在多个计算节点上）的启发,每个光滑目标函数可认为是多个组成函数的平均。为了以分布式的方式解决这个问题,本文利用方差缩减技术和分布式投影方法,提出了一种计算有效的分布式随机梯度算法。理论分析表明,当常数步长小于显式估计的上界且每个组成函数（光滑）都是强凸时,所提出的算法能期望收敛到精确最优解。与现有分布式方法相比,所提出的算法不仅适用于解决具有一般约束的组合优化问题,而且就局部梯度计算次数而言具有较低的计算成本。最后,仿真实验验证了算法的良好性能。（2）研究了网络化系统分布式机器学习优化问题。分布式优化在许多大规模机器学习任务中扮演重要角色,在这些任务中,训练数据集的样本在多个计算节点之间随机分布。此外,每个目标函数可看作是多个组成函数的平均。由于现实因素的存在,同时具有通信和计算有效的分布式加速算法还没有进行研究。本文利用Nesterov加速机制和梯度跟踪技术,提出了一种双有效的随机分布式加速算法,该算法分别利用事件触发策略提高通信效率和方差缩减技术提高计算效率。理论分析表明,当选择合适的常数步长以及每个组成函数都是强凸且光滑时,所提出的算法能期望线性收敛到精确最优解。在一定条件下,证明了对每个节点,两个连续触发时刻之间的时间间隔大于迭代间隔。最后,仿真实验验证了算法的良好性能。（3）研究了时变非平衡有向环境下网络化系统分布式在线优化的隐私保护问题。网络中节点的主要目的是合作地最小化所有局部凸目标函数（时变）之和,同时保护自身隐私。为了解决这类问题,本文提出了一种差分隐私分布式随机次梯度推送算法。与现有的不考虑隐私问题的分布式方法不同,所提出的算法通过差分隐私策略成功地保护了参与节点的隐私信息,在军事、医疗等涉及隐私的应用中更具实用性。所提出的算法的一个重要特征是在时变非平衡有向网络下解决分布式在线优化问题。理论分析表明,所提出的算法不仅可以有效地保证差分隐私,而且能够获得次线性遗憾,并进一步揭示了算法的隐私水平和准确性之间的折衷。此外,本文探讨了所提出的算法对通信链路中存在信息传输延迟的鲁棒性。最后,仿真实验验证了算法的良好性能。（4）研究了非平衡有向环境下网络化系统分布式资源分配的隐私保护问题。基于分布式优化的资源分配问题以其可扩展性、鲁棒性和灵活性等优点成为研究热点。分布式资源分配的目的是每个节点仅与其邻居进行通信,并尝试在满足网络资源约束和本地容量限制的同时最小化自身目标函数。随着数据安全的出现和复杂计算的需求,这一领域的研究又重新兴起。为了解决分布式资源分配,同时考虑隐私安全和计算效率的问题,本文提出了一种隐私保护分布式随机休眠算法,较好地适用于非平衡有向网络。一方面,该算法通过在状态交换中加入条件噪声,有效地保护了隐私。另一方面,将随机休眠策略应用在算法设计中,有效地提高了计算效率。理论分析表明,所提出的算法能够在保护隐私的同时实现资源的最优分配。最后,仿真实验验证了算法的良好性能。
刘田田[2]（2020）在《关于核函数机器和生存分析的两个经典统计推断问题的研究》文中研究表明核函数机器和生存分析是统计学中两个重要的研究课题.我们的研究关注响应变量缺失下的核函数机器的估计问题和两总体生存曲线差异的检验问题.关于响应变量缺失下的核函数机器,已有基于转化为指数分布族的方法,但是仍存在假设性强,最优化和收敛性不明确等缺陷.本文提出两种新的核函数机器,均可用于非参数回归和分类.第一种核函数机器称为基于完整数据加权的核函数机器,它既可以处理响应变量缺失也可以处理协变量缺失,不过它的有效性受到关于缺失机制假设的限制.我们提出的第二种核函数机器称为双重稳健核函数机器,它能够克服前面的假设限制,当缺失机制或响应变量给定协变量的条件分布二者之一估计正确时就可以获得经验风险无偏性,达到双重稳健的效果.我们建立了所提出的两种核函数机器的理论性质,包括最优不等式,一致相合性以及学习速率.模拟研究表明所提出的核函数方法较现有的方法在预测新响应值以及估计响应变量的总体均值有优势.我们还特地制作了R软件包KM4ICD,方便使用和推广.关于生存分析中比较两个生存函数的经典检验问题,已有一些基于特定假设或者分布间距离的有效方法,但是仍存在假设疏于验证或检验功效不高等缺点.本文提出一个直观的刻画两生存曲线间面积的检验统计量,特别适用于检验两总体生存曲线存在交叉的情况.我们推导了它在原假设下的渐近分布.并且建立了基于重抽样检验的方法和理论.本文的方法较其他现有方法具有适用性广的优点,它既可以适用于数据中存在“结”的情况,也适用于两总体删失机制不同的情况.模拟研究和实例分析发现新方法在比例风险假设成立时与经典检验方法相当,而在比例风险假设不成立时,新方法检验功效优越.
赵申宜[3]（2020）在《并行与分布式随机学习算法研究》文中研究表明随机学习目前已经广泛应用于机器学习问题之中。随机学习算法的目的是通过迭代的方式学习机器学习模型的一个最优参数。在每一次迭代中,随机学习算法都会随机选取一个或者小批量训练数据,然后计算一个向量用以更新模型参数。随机梯度下降法为一种经典的随机学习算法。随着数据规模的增长,基于多核系统的并行随机学习和基于多机集群系统的分布式随机学习得到了广泛的关注。相比于传统的序列化随机学习算法,并行与分布式随机学习算法可以同时处理更多的训练数据。基于多核系统和多机集群系统,本文从四个方面对并行与分布式随机学习算法进行系统性研究,包括:面向凸问题的并行随机学习,面向非凸问题的并行随机学习,面向凸问题的分布式随机学习和面向非凸问题的分布式随机学习。本文的主要贡献如下:·在面向凸问题的并行随机学习研究中,目前已有工作虽然在一些实践中发现无锁学习比使用锁学习效率更高,但是还没有工作从理论上证明并行随机学习算法在无锁机制下的收敛性。本文提出了一种新的并行随机学习算法,称作异步SVRG（AsySVRG）。通过构造异步学习的一种等价序列化学习过程,并用对角矩阵描述无锁机制下写覆盖的发生情况,本文从理论上证明了AsySVRG在无锁机制下可以取得线性收敛速度。就本文所知,这是第一个在理论上具有线性收敛速度的无锁并行随机学习工作。实验结果表明,AsySVRG取得了比已有算法更快的收敛速度。·在面向非凸问题的并行随机学习研究中,目前还没有工作从理论上证明并行随机学习算法在非凸问题上采用无锁机制的收敛性。本文首先将AsySVRG中提出的等价序列化学习过程以及其无锁性质推广到一般情形。具体来说,当线程计算的随机更新向量满足Lipschitz连续性质时,等价学习过程中的读序列与写序列的差异可以被随机更新向量的范数的二阶矩所限制。利用这一性质,本文在理论上分析了一种着名的并行随机学习算法Hogwild!,以及AsySVRG在非凸问题上采用无锁机制的收敛性。就本文所知,这是第一个从理论上证明Hogwild!在无锁机制下收敛性质的工作。同时,理论和实验都证明了本文提出的AsySVRG在非凸问题上具有比Hogwild!更快的收敛速度。·在面向凸问题的分布式随机学习研究中,目前已有算法的通信复杂度依赖于目标函数的条件数。目标函数的条件数越大,已有算法的通信复杂度越高。通常机器学习问题中目标函数的条件数很大,因此已有分布式随机学习算法的效率较低。本文提出了一种新的分布式随机学习算法SCOPE。SCOPE采用了方差减小技术和本地学习策略。相比于已有的分布式随机学习算法,SCOPE可以有效减小通信复杂度。具体来说,SCOPE的通信复杂度不依赖于目标函数的条件数。针对带有非平滑正则项的稀疏学习问题,本文提出了分布式随机学习算法proximal SCOPE（pSCOPE）。pSCOPE的通信复杂度同样不依赖目标函数的条件数。除此之外,本文在理论上证明了 SCOPE与pSCOPE均可取得线性收敛速度。实验验证了 SCOPE与pSCOPE均取得了相比于已有算法更快的训练速度。·在面向非凸问题的分布式随机学习研究中,增大学习批量是减小通信复杂度的一种常用方法。然而在使用大批量学习的算法中,为了避免泛化能力降低而提出的学习技巧均缺乏理论解释。本文首先研究了一种已有随机学习算法（随机归一化梯度下降法SNGD）在非凸问题上采用大批量学习的适用性,并在理论上证明了不同于目前广泛使用的基于随机梯度下降（SGD）的算法,SNGD可采用的批量大小不受目标函数的平滑系数限制。基于SNGD,文本提出了一种新的随机学习算法SNGM。SNGM可以看做SNGD的一个带有动量的变种算法。本文在理论上证明了 SNGM可以取得与带有动量的SGD（MSGD）相同的收敛速度。受益于梯度的归一化,SNGM可以采用比MSGD更大的批量进行学习,从而在分布式训练场景下SNGM相比于MSGD可以减小通信复杂度。实验验证了在分布式训练场景下,相比于使用大批量学习的MSGD,使用大批量的SNGM可以取得更好的测试精度;相比于使用小批量学习的MSGD,大批量学习的SNGM可以取得相同测试精度的同时减小通信次数。
杨庆[4]（2020）在《基于多智能体网络的分布式（在线）约束优化算法研究》文中进行了进一步梳理随着现代网络控制系统的规模化和复杂化以及现代通信技术的飞速发展,由于传统集中式优化依赖于单个控制中心收集整个网络系统信息,因而很难适应复杂大规模系统高效、灵活、低成本以及安全隐私运行的需求。鉴于此,基于多智能体网络的分布式优化应运而生。近年来,分布式优化在无线传感器网络、电网系统、资源配置网络、多机器人系统、机器学习等众多领域中都有着广泛的应用,因此吸引了越来越多学者的研究和关注。论文以代数图论、凸优化理论、多智能体协同控制理论为基础,研究了网络化多智能体系统框架下的分布式（在线）约束优化问题。由于实际系统优化决策变量通常受到各种外在和内在因素的约束,因此相对于无约束优化问题,约束优化问题更一般更复杂,也更具有实际研究意义。论文围绕多智能体网络的分布式约束优化和分布式在线约束优化问题展开研究,其主要工作和贡献体现在以下几个方面:1.研究了多智能体耦合等式约束下的光滑分布式约束优化问题。针对不同的通信拓扑,分别提出了三种基于交替方向乘子法（ADMM）的分布式约束优化算法。首先,在固定（时变）无向通信拓扑条件下,利用无中心（center-free）算法和ADMM算法解决了具有非二次局部目标函数和局部不等式约束的优化问题。在固定（时变）无向图为连通（联合连通）图时,严格证明了算法的收敛性以及收敛终值的最优性。接着,在固定非平衡有向图下,利用ADMM算法,Newton-Raphson方法,比例一致性算法,研究了多智能体耦合等式约束下光滑分布式约束优化问题。进一步考虑具有通信时延和通信丢包的有向通信拓扑,给出一种鲁棒优化算法。在有向图为强连通图并且对应的邻接矩阵为列随机矩阵的条件下,严格证明了这两种算法的收敛性以及收敛结果的最优性。2.研究了多智能体耦合等式约束下的非光滑分布式约束优化问题。针对不同的初始条件、凸性条件、以及网络连通性条件,分别提出了三种连续时间分布式约束优化算法。首先,在固定无向图条件下,利用非光滑分析、微分包含理论以及代数图论解决了具有非光滑、一般凸而非严格凸局部目标函数的优化问题。算法给出的收敛结果依赖于特定的初始条件。因此,进一步给出了全分布式无初始化算法。通过引入辅助变量,消除了算法结果对特定初始条件的依赖性。同时,该算法不需要执行任何额外的初始化程序,节省了计算和通信成本,提升了算法应用的灵活性。最后,对有向平衡图下具有非光滑强凸局部目标函数的优化问题,给出了分布式求解算法并证明了算法的收敛性。3.研究了多智能体耦合不等式约束下的分布式约束优化问题。针对不同通信拓扑条件,提出了两种分布式约束优化算法。首先,针对固定非平衡有向通信图下具有耦合不等式约束和局部集合约束的优化问题,基于投影的原始对偶次梯度法和一致性策略,提出了一种离散时间优化算法。当通信图为具有行随机邻接矩阵的强连通图并且算法步长满足给定条件时,利用该算法可渐近求得最优解。其次,针对时变非平衡有向图下的优化问题,基于push-sum策略和原始对偶次梯度法提出了一种连续时间优化算法,它可以解决时变的非平衡有向图下的优化问题。当通信图为联合强连通图时,证明了这类算法可渐近求得最优解。4.研究了多智能体集合约束下的分布式在线约束优化问题。针对具有行随机邻接矩阵的非平衡有向图下的这类问题,根据目标函数的梯度信息是否已知,设计了两种分布式在线约束优化算法。当局部目标函数的梯度信息未知时,基于Kiefer-Wolfowitz算法的思想构造了随机差分估计器。同时,采用动态regret来分析和度量这两种在线优化算法的收敛性能。理论分析表明,当基准序列偏差的增长速度在一定范围内时,提出的这两种在线算法的动态regret上界相对于学习时间呈次线性增长。
马丽涛[5]（2020）在《几类非光滑优化问题的模型、算法及在点云匹配中的应用》文中提出在科学与工程等众多领域,广泛存在着非光滑优化问题。对于规模较大、结构复杂的非光滑优化问题,经典的离散优化算法往往无法实时求解。神经动力学优化算法作为一种可基于硬件电路实现、并可实时求解的人工神经网络,能更好地求解规模较大、结构复杂的优化问题。最优传输理论作为一种度量概率分布的有力工具,具有强大的应用价值,近年来已成为一个重要的研究领域。本文将利用神经动力学方法、最优传输理论研究几类在实际中广泛存在的非光滑优化问题的求解算法,讨论动力学方法解轨线的性态及最优传输在点云匹配问题中的应用。主要研究内容为:1.针对一类带有一般约束的非光滑分布式凸优化问题,提出了一种具有连续时间形式的多智能体神经动力学算法。此算法可以群集式求解,并可在较宽泛的假设条件下保证各智能体的状态解达到输出一致。特别是保证了算法状态解的有界性和全局存在性,并在优化问题不含简单约束集时得到了状态解的唯一性和“slow解”的性质。最后,证明了状态解可渐近地收敛到等价优化问题的可行域,且各智能体的输出状态解收敛于原分布式优化问题的最优解集。2.针对一类带有一般约束的l1罚非光滑稀疏凸优化问题,提出了一种微分方程形式的投影神经动力学算法。由于目标函数中非光滑项l1范数的存在,常采用具有微分包含结构的神经动力学算法进行求解,但又导致了次梯度选择困难的问题。为此,给出了一个判定l1范数次微分中元素的充分必要条件,进而得到了稀疏优化问题的一个充分必要的全局最优性条件,并基于此条件构建了投影神经动力学算法。其次,研究了所构建算法的状态解在等式约束集内的正不变性,得到了状态解的有界性、全局存在性及在Lyapunov意义下的稳定性。最后,证明了在任何初始条件下,状态解均收敛到稀疏优化问题的一个最优解。3.针对一类带有一般凸约束的非光滑伪凸优化问题,构建了神经动力学求解算法。首先,基于光滑化技术,构建了一个不依赖于可行域信息的正则函数。进而根据正则函数的特殊结构,构建了一种神经动力学算法,证明了算法状态解的全局存在性、唯一性和“slow解”等性质。此外,得到了算法的状态解可在有限时间内收敛到可行域,进而收敛到优化问题最优解集的性质。特别地,在满足特定条件时,可保证状态解收敛到一个最优解。4.针对非光滑非凸点云匹配问题,建立了两种改进的最优传输模型,并设计了求解算法。传统最优传输理论在求解点云匹配问题时,对图像点集间存在的仿射变换、甚至非线性变换缺乏鲁棒性。为提高受复杂形变或噪声干扰的点云匹配的准确率,将正交矩阵、对角矩阵作为变量,结合最优传输理论,诱导出了基于点云匹配的最优传输模型,并结合并行技术构建了快速的求解算法。此外,为处理更复杂环境下（如存在外点或遮挡）的点云匹配问题,设计了相应的正则项,构建了松弛正则化最优传输模型,并设计了求解算法。
李海燕[6]（2020）在《高等数学视角下的中学数学教学研究 ——以不等式内容为例》文中研究表明随着新课改,高等数学中的一些知识逐渐融入中学数学教材,并且在高考中也出现了以高等数学中某些知识为背景的试题,因此高等数学视角下的中学数学教学就显得尤为重要.通过对高等数学视角下的中学数学教学的研究背景和研究现状整理分析,发现近年来关于这方面的研究已引起国内外专家学者的高度重视,但从某一具体的数学内容进行系统的研究却很少.本文立足于一个具体内容--不等式,来探讨在中学数学教学中如何渗透高等数学的思想、方法.不等式作为分析、解析数学问题的基础与工具,高考中常与函数等其他知识综合考查.因此,以不等式为载体,以高等数学为背景编制的试题成为高考中的新亮点.考查了学生对知识的迁移能力和创新思维能力.因此,本文对高等数学视角下的中学数学不等式的证明教学进行了研究.本文在对前人相关研究整理、分析的基础上,介绍了不等式的发展史、不等式在新课标、考试大纲中的体现及初、高等数学中与不等式的证明问题相关的理论基础.对高考试题中以高等数学为背景的有关不等式证明问题进行分类分析,阐明了从高等数学视角研究中学数学教学的必要性.希望能够对中学数学教师和学生有所帮助.通过对一线教师利用高等数学指导中学数学教学的问卷调查,为本论文的撰写提供支撑.最后,设计了具体的教学案例并进行分析,以此来说明高等数学在中学数学教学中的作用,并对一线中学数学教师提出建议,希望对中学数学教学有所帮助.
张鹏[7]（2020）在《黎曼流形上的增量次梯度方法及其收敛性分析》文中指出最优化理论与方法是一个应用比较广泛的数学分支,它所研究的最优化问题普遍存在于工程设计,资源分配,生产计划安排等实际应用领域。随着最优化理论的发展,关于可用于求解定义在黎曼流形上的优化问题的最优化方法及其收敛性的研究也越来越多。这些研究的必要性在于,许多实际应用领域出现的问题并不能归结为定义在线性空间上的优化问题,而需要在黎曼流形的结构下进行定义和研究。近些年来,关于黎曼流形上的带有次梯度的最优化方法及其收敛性质的研究取得了极大的进展,吸引了国内外学者的广泛关注。本文针对黎曼流形上的增量次梯度方法及其收敛性展开研究,该方法是求解黎曼流形上由若干分量函数的和构成的大规模优化问题的比较有效的方法。本文主要研究内容包括以下几个方面:首先,建立了求解黎曼流形上的由若干分量函数的和构成的大规模的无约束优化问题的增量次梯度方法,该方法的每次迭代可以看作是一个按固定顺序对每个分量函数进行次梯度迭代的循环。在此基础上,进一步研究了该方法在固定步长法则下的收敛性质,这里涉及的固定步长法则包括常数步长法则以及缩减步长法则。同时,给出了若干典型的应用实例。其次,进一步研究了前面提出的黎曼流形上的增量次梯度方法在动态步长法则下的收敛性质。在最优值已知和未知两种情况下分别定义了几种动态步长,并给出了方法在这几种步长法则下的收敛性质。此外,还定义了黎曼流形上的大规模约束优化问题的增量次梯度方法,得到了若干有理论意义和应用价值的收敛性结果。最后,分别构造了黎曼流形上的大规模的无约束和约束优化问题的随机的增量次梯度方法。这里的随机一方面体现在方法的每次迭代都是随机的选取分量函数进行次梯度迭代的,另一方面体现在每次迭代都是应用带有随机误差的次梯度作为方法的搜索方向的,也证明了这些方法在固定步长法则和动态步长法则下的收敛性质。
王超琼[8]（2020）在《凸函数与Jensen不等式在数学竞赛中的应用》文中指出1905年,丹麦数学家约翰·詹森（Johan·Jensen）第一次用不等式定义凸函数,提出了凸函数的概念,Jensen不等式也由此产生.凸函数与Jensen不等式是统一的整体,凸函数的许多性质是由Jensen不等式推导出来的,Jensen不等式在求函数最值等方面有着非常广泛的应用.除此之外,我们还发现,可以将凸函数与Jensen不等式应用到几何当中去,会产生意想不到的结果.
张小亚[9]（2019）在《几类新型梯度算法的设计与收敛性研究》文中研究表明随着科学技术日新月异的发展,尤其是以互联网技术为代表的网络时代的到来,各应用领域涉及的优化问题数据规模愈加庞大。梯度类算法作为求解优化问题的一类普适性算法,因其低复杂度的计算形式和较为完善的理论基础得到了广泛的应用。研究新型梯度类算法具有重要的理论价值和应用前景。一方面,数据时代应用发展中对高效优化算法的追求要求我们设计高效的梯度算法格式;另一方面,新型梯度算法投入到实际应用中会遇到理论保证上的挑战,需要我们不断挖掘新的数学概念、开发新的证明工具、提出新的证明方法。结合优化问题的结构特征设计、分析新型梯度类算法将极大丰富现有优化算法的理论研究内容,同时给各应用领域中出现的优化问题提供新的求解思路。本文针对几类具有特殊结构的优化问题,设计了几种新型梯度算法,围绕着算法格式、理论分析、实验论证等方面进行了系统的研究。以下是本文的主要工作和创新点:1、针对一类带和函数的凸优化问题,设计了惯性加速的临近增量累积梯度迭代格式。本文针对带和函数的优化问题,提出了一类惯性临近增量累积梯度算法。分析了算法生成的目标函数值和迭代点在梯度Lipschitz连续性和强凸性的假设条件下的线性收敛性;其次弱化了强凸性条件,并用另一种基于Lyapunov函数的证明方法证明了惯性临近增量累积梯度算法的线性收敛性。最后通过两个仿真实例验证了算法的加速效果。2、针对一类不满足梯度Lipschitz连续性的非凸非光滑优化问题,设计了外推Bregman临近梯度迭代格式。本文引入外推格式以加速Bregman临近梯度算法,用于求解非Lipschitz连续的非光滑非凸问题。首先在一般假设条件下证明了BPGe算法生成序列的极限点都是原问题的稳定点。其次,进一步引入Kurdyka-（?）ojasiewicz条件后,证明了BPGe算法生成的整个序列收敛到原问题的稳定点。最后通过泊松线性逆问题和二次逆问题的实验验证了外推格式带来的加速效果。3、针对一类带耦合项的非凸非光滑优化问题,设计了两种交替极小化迭代算法格式。本文针对带耦合项的非凸优化问题,提出了两类新型的交替迭代梯度算法。第一种是非凸临近交替极小化方法,通过引入一个新的辅助变量,将原问题分裂为两个相对简单的子问题,并对每一个子问题利用临近点方法交替求解。理论上分析了在满足Kurdyka-（?）ojasiewicz性质时,算法生成的整个序列收敛至原问题的稳定点。第二种是Bremgan原对偶算法,通过引入一个对偶辅助变量,将原问题转化为鞍点问题,然后引入Bregman距离取代常见原对偶算法中的二次距离,理论上分析了该算法的收敛性。最后,用l0极小化问题验证了非凸临近交替极小化方法的有效性;用泊松去噪问题验证了Bremgan原对偶算法的有效性。4、针对求解非光滑凸优化问题的临近梯度算法,补充了其关于临近梯度范数的精确最弱线性收敛率的估计结果,改进了线性收敛率的证明。临近梯度算法是一种十分经典的算法,收敛性证明的研究结果已经十分深入。本文首先在梯度Lipschitz连续性和强凸性的假设条件下,建立了新的关于临近梯度范数的精确最弱线性收敛率估计,补充了现有理论结果。其次,改进了现有的下降引理,基于新的引理,在Polyak-（?）ojasiewicz不等式条件下改进了非强凸条件下目标函数值的线性收敛率结果。
张哲[10]（2019）在《无人机航迹规划问题的非凸优化算法研究》文中研究表明近年来,无人机在民用、商用和军用领域都有着广泛的应用。由于无人机的特性,其更适用于重复性强,危险性高,对人可能有危害的工作。正是由于这样的特性,越来越多的学者对无人机的研究更加感兴趣。无人机在许多方面有着极高的应用潜力,如航拍、测绘、救援、探测、反潜等。航迹规划,是指在保证飞行器安全的基础上以最小成本规划出一条从起始点到目标点的路径。航迹规划问题在无人机的应用中是不可或缺的,有着至关重要的作用。随着最优控制理论和人工智能算法的发展,无人机的航迹规划问题的研究飞速发展,呈现了许多有效的研究成果,然而相关研究还面临着一些挑战和不足。针对无人机航迹规划问题建立系统的数学模型的研究较少,而经典的模型较为简单在某些场景下不再适用,需要进一步改进。研究者将也将各类热门的启发式算法应用到航迹规划问题中来,表现性能较为良好,但大部分启发式算法的最优性和收敛性无法判定,从而限制其在一些领域中的应用。另一方面,数值算法虽然在某些情况下可以保证问题的最优性,但由于无人机航迹规划模型的复杂性较高,导致问题的计算效率较低所以无法满足实时性要求。因此,如何系统完善地改进经典的无人机航迹规划问题模型,进一步细化目标和特定约束;如何在保证最优性和收敛性的前提下,快速有效地求解无人机航迹规划问题是一个具有重大理论意义及实际应用价值的研究课题。本文针对无人机航迹规划问题,基于最优控制理论对其建模分析,建立系统的研究模型,应用非凸优化方法、混合整数优化理论提出一系列采用凸优化求解无人机航迹规划非凸问题的算法,并且对提出算法的最优性和收敛性进行理论分析和讨论,提升问题求解的稳定性和效率性。本文的主要内容和创新点包括:（1）无人机航迹规划问题的系统建模。基于经典的无人机航迹规划问题模型,对避障约束、撞击避免约束、喷气避障约束等进行了修正和改进,引入了采样间约束,给出了更加合理的目标函数。建立统一完善的无人机航迹规划问题模型,并给出了相应模型的转化,为后续计算求解和理论分析打下了基础。（2）带有非凸控制约束问题的升维凸优化方法。针对带有特定非凸控制约束的无人机航迹规划问题,将其建模为一个混合整数非线性规划问题,且其对应的连续问题为一个非凸优化问题。将升维凸优化的思想引入到广义Benders分解的求解框架中,通过凸优化和混合整数规划对这一非凸问题进行求解,大大提高了求解效率,并对算法的最优性进行了理论分析。（3）带有非凸状态约束问题的序列凸优化方法。针对带有一般性非凸状态和控制约束的无人机航迹规划问题,通过模型转化,将其建模为一个标准的非凸优化问题。利用序列凸优化思想,针对非凸部分进行近似,通过一系列凸优化问题逼近原始非凸优化问题的解,大大提高了计算效率。此外,严格证明了算法的最优性,并且分析了算法的全局收敛性。（4）非凸最优控制问题的惩罚边界序列凸优化方法。针对求解非凸优化问题的序列凸优化方法,对其进行了改进。增加精确惩罚策略,使得算法可以处理初始输入为不可行起始点的情况。在每次凸优化近似时,计算新的投影迭代点,增加与原始可行域的相似性,从而减少迭代次数,提高计算效率。另外,严格证明了改进的方法的全局收敛性,并且分析了新方法的最优性。（5）带有逻辑约束的非凸问题的惩罚序列凸优化方法。针对无人机航迹规划问题中需要引入二元变量描述逻辑关系的情况,将其建模为一个混合整数非线性规划问题。利用惩罚策略,将二元整数变量转化为连续变量,通过序列连续凸优化问题近似原始离散非凸优化问题的解,大大提高了计算效率。同时,证明了提出算法的全局收敛性,并分析了算法输出的最优性。
二、凸函数的性质及其在不等式证明中的应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、凸函数的性质及其在不等式证明中的应用（论文提纲范文）
（1）网络化系统分布式优化和隐私保护研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 网络化系统分布式优化:收敛率和网络结构 |
| 1.2.2 网络化系统分布式优化:通信效率和计算效率 |
| 1.2.3 网络化系统分布式优化:隐私保护 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 1.3.1 研究思路 |
| 1.3.2 研究内容 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 主要符号 |
| 2.2 网络模型 |
| 2.3 相关定义 |
| 2.3.1 集合与映射 |
| 2.3.2 函数性质 |
| 2.3.3 迭代算法的收敛率 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 计算有效的分布式随机梯度算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 分布式优化问题模型 |
| 3.2.1 问题模型 |
| 3.2.2 问题重构 |
| 3.3 算法设计 |
| 3.4 收敛性分析 |
| 3.4.1 支撑引理 |
| 3.4.2 主要结果 |
| 3.4.3 算法拓展 |
| 3.5 仿真实验 |
| 3.5.1 仿真 1:检验性能 |
| 3.5.2 仿真 2:应用性能 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 双有效的分布式随机加速算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 分布式优化问题模型 |
| 4.2.1 问题模型 |
| 4.3 算法设计 |
| 4.3.1 事件触发策略 |
| 4.3.2 DE-SDAA算法 |
| 4.4 收敛性分析 |
| 4.4.1 支撑引理 |
| 4.4.2 主要结果 |
| 4.4.3 算法拓展 |
| 4.5 仿真实验 |
| 4.5.1 仿真 1:逻辑回归 |
| 4.5.2 仿真 2:基于能量的源定位 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 差分隐私分布式随机次梯度推送算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 分布式在线优化问题模型 |
| 5.2.1 问题模型 |
| 5.3 算法设计 |
| 5.3.1 差分隐私策略 |
| 5.3.2 DP-DSSP算法 |
| 5.4 收敛性分析 |
| 5.4.1 ε-差分隐私 |
| 5.4.2 对数遗憾 |
| 5.4.3 平方根遗憾 |
| 5.4.4 算法对通信延时的鲁棒性 |
| 5.5 仿真实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 隐私保护分布式随机休眠算法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 分布式资源分配问题 |
| 6.2.1 问题模型 |
| 6.2.2 问题转化 |
| 6.3 算法设计 |
| 6.4 收敛性和隐私性分析 |
| 6.4.1 收敛性分析 |
| 6.4.2 隐私性分析 |
| 6.5 仿真实验 |
| 6.5.1 仿真 1:5 总线孤岛微电网 |
| 6.5.2 仿真 2:IEEE 118 总线系统 |
| 6.6 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 全文工作总结 |
| 7.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士期间已完成的论文和专着 |
| 攻读博士期间主持和参与的科研项目以及获奖情况 |
（2）关于核函数机器和生存分析的两个经典统计推断问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景介绍 |
| 1.1.1 响应变量缺失下的核函数机器估计问题 |
| 1.1.2 两总体生存曲线差异的检验问题 |
| 1.2 本文的主要内容 |
| 第二章 响应变量缺失下的核函数机器估计 |
| 2.1 引言和预备知识 |
| 2.1.1 引言 |
| 2.1.2 预备知识 |
| 2.2 方法 |
| 2.2.1 基于完整数据加权的核函数机器 |
| 2.2.2 双重稳健核函数机器 |
| 2.3 理论结果 |
| 2.3.1 假设和条件 |
| 2.3.2 基于完整数据加权的核函数机器的理论结果 |
| 2.3.3 双重稳健核函数机器的理论结果 |
| 2.4 数值模拟 |
| 2.4.1 模型设置 |
| 2.4.2 模拟结果 |
| 2.5 实例分析 |
| 2.6 总结与讨论 |
| 2.7 附录 |
| 2.7.1 引理2.2.2的证明 |
| 2.7.2 定理2.2.3的证明 |
| 2.7.3 定理2.3.1的证明 |
| 2.7.4 定理2.3.2的证明 |
| 2.7.5 推论2.3.1的证明 |
| 2.7.6 定理2.3.3的证明 |
| 2.7.7 引理2.3.4的证明 |
| 2.7.8 引理2.3.5的证明 |
| 2.7.9 定理2.3.6的证明 |
| 2.7.10 推论2.3.2的证明 |
| 第三章 两总体生存曲线差异的检验 |
| 3.1 引言和预备知识 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 预备知识 |
| 3.2 方法和理论 |
| 3.2.1 统计量及其分布 |
| 3.2.2 重抽样检验 |
| 3.3 数值模拟 |
| 3.3.1 一类误差的比较 |
| 3.3.2 功效的比较 |
| 3.4 实例分析 |
| 3.5 附录 |
| 3.5.1 引理3.5.1的证明 |
| 3.5.2 定理3.2.1–3.2.3的证明 |
| 第四章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的论文 |
（3）并行与分布式随机学习算法研究（论文提纲范文）
| 摘 要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 研究问题 |
| 1.3 本文贡献 |
| 1.4 本文结构 |
| 第二章 背景知识 |
| 2.1 数学符号及定义 |
| 2.2 相关工作 |
| 2.2.1 随机学习算法 |
| 2.2.2 并行随机学习算法 |
| 2.2.3 分布式随机学习算法 |
| 第三章 异步并行随机学习算法AsySVRG及其在凸问题上的收敛性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题定义 |
| 3.3 异步并行随机学习算法AsySVRG |
| 3.3.1 算法步骤 |
| 3.3.2 无锁机制下的一种等价学习过程 |
| 3.3.3 AsySVRG在凸问题上的收敛性 |
| 3.4 实验 |
| 3.4.1 实验设置 |
| 3.4.2 实验结果 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 并行随机学习算法Hogwild!和AsySVRG在非凸问题上的收敛性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题定义 |
| 4.3 无锁学习的一般性质 |
| 4.4 Hogwild!在非凸问题上的收敛性 |
| 4.5 AsySVRG在非凸问题上的收敛性 |
| 4.5.1 在一般平滑非凸RERM问题上的收敛性 |
| 4.5.2 在PL不等式条件下的收敛性 |
| 4.6 实验 |
| 4.6.1 实验设置 |
| 4.6.2 实验结果 |
| 4.7 本章小结 |
| 第五章 面向凸问题的分布式随机学习算法SCOPE |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题定义 |
| 5.3 可扩展的分布式随机学习算法SCOPE |
| 5.3.1 算法步骤 |
| 5.3.2 本地学习 |
| 5.3.3 SCOPE在一般数据划分下的收敛性 |
| 5.3.4 SCOPE在优质数据划分下的收敛性 |
| 5.4 SCOPE的一个近端变种算法pSCOPE |
| 5.4.1 算法步骤 |
| 5.4.2 pSCOPE的收敛性 |
| 5.4.3 处理高维稀疏数据 |
| 5.5 SCOPE实验 |
| 5.5.1 实验设置 |
| 5.5.2 实验结果 |
| 5.6 pSCOPE实验 |
| 5.6.1 实验设置 |
| 5.6.2 实验结果 |
| 5.7 本章小结 |
| 第六章 面向非凸问题的分布式随机学习算法SNGM |
| 6.1 引言 |
| 6.2 问题定义 |
| 6.3 随机归一化梯度下降SNGD对大批量学习的适用性分析 |
| 6.4 基于SNGD的大批量随机学习算法SNGM |
| 6.4.1 算法步骤 |
| 6.4.2 SNGM在平滑非凸问题上的收敛性 |
| 6.4.3 SNGM与MSGD的对比 |
| 6.4.4 SNGM在松弛平滑条件下的收敛性 |
| 6.5 SNGD实验 |
| 6.5.1 实验设置 |
| 6.5.2 实验结果 |
| 6.6 SNGM实验 |
| 6.6.1 实验设置 |
| 6.6.2 实验结果 |
| 6.7 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 本文总结 |
| 7.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 简历与科研成果 |
（4）基于多智能体网络的分布式（在线）约束优化算法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号及缩写表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 分布式约束优化研究现状 |
| 1.2.2 分布式在线约束优化研究现状 |
| 1.3 本文研究内容与贡献 |
| 1.4 本文结构安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 图论相关知识 |
| 2.2 矩阵理论相关知识 |
| 2.3 凸优化相关知识 |
| 2.3.1 凸集和凸函数 |
| 2.3.2 凸优化问题 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 多智能体耦合等式约束下光滑分布式约束优化算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 交替方向乘子法 |
| 3.3 问题描述 |
| 3.4 无向图下基于ADMM的分布式约束优化算法 |
| 3.4.1 算法设计及收敛性能分析 |
| 3.4.2 仿真验证 |
| 3.5 有向图下基于ADMM的分布式约束优化算法 |
| 3.5.1 算法设计及性能分析 |
| 3.5.2 仿真验证 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 多智能体耦合等式约束下非光滑分布式约束优化算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 非光滑分析与微分包含 |
| 4.3 问题描述 |
| 4.4 无向图下非光滑分布式约束优化算法 |
| 4.4.1 算法设计及性能分析 |
| 4.4.2 仿真算例 |
| 4.5 无向图下无初始化的非光滑分布式约束优化算法 |
| 4.5.1 算法设计及性能分析 |
| 4.5.2 仿真算例 |
| 4.6 有向图下非光滑分布式约束优化算法 |
| 4.6.1 算法设计及性能分析 |
| 4.6.2 仿真算例 |
| 4.7 本章小结 |
| 5 多智能体耦合不等式约束下分布式约束优化算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述 |
| 5.3 固定非平衡有向图下分布式原始对偶次梯度算法 |
| 5.3.1 算法设计 |
| 5.3.2 性能分析 |
| 5.3.3 仿真算例 |
| 5.4 时变非平衡有向图下分布式原始对偶次梯度算法 |
| 5.4.1 通信网络模型 |
| 5.4.2 算法设计及性能分析 |
| 5.4.3 仿真算例 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 多智能体集合约束下分布式在线约束优化算法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 问题描述 |
| 6.3 基于梯度的分布式在线约束优化算法 |
| 6.3.1 算法设计 |
| 6.3.2 性能分析 |
| 6.4 随机无梯度分布式在线约束优化算法 |
| 6.4.1 算法设计 |
| 6.4.2 性能分析 |
| 6.5 仿真验证 |
| 6.6 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A.作者在攻读博士学位期间的主要学术成果 |
| B.攻读博士学位期间参与的主要科研项目 |
| C.攻读博士学位期间所获奖励 |
| D.学位论文数据集 |
| 致谢 |
（5）几类非光滑优化问题的模型、算法及在点云匹配中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 非光滑优化问题的神经动力学算法 |
| 1.2.2 图像配准问题的最优传输模型 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.3.1 符号说明 |
| 1.3.2 非光滑分析等相关知识 |
| 1.3.3 最优传输基本理论 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第2章 求解约束非光滑分布式凸优化问题的多智能体神经动力学算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 算法构建 |
| 2.3 状态解的存在性及其动力学性质 |
| 2.4 状态解的一致性及收敛性 |
| 2.5 实验 |
| 2.5.1 数值算例 |
| 2.5.2 最优载荷控制问题 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 求解约束l_1罚非光滑稀疏凸优化问题的投影神经动力学算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 算法构建 |
| 3.3 状态解的存在性及收敛性 |
| 3.4 实验 |
| 3.4.1 信号还原问题 |
| 3.4.2 数据分类问题 |
| 3.4.3 图像恢复问题 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 求解约束非光滑伪凸优化问题的神经动力学算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 算法构建 |
| 4.3 状态解的存在性及收敛性 |
| 4.4 实验 |
| 4.4.1 数值算例 |
| 4.4.2 动态投资组合优化问题 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 求解非光滑非凸点云匹配问题的最优传输模型及算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 先验概率的确定 |
| 5.3 离散最优传输模型 |
| 5.4 松弛正则化最优传输模型 |
| 5.5 实验 |
| 5.5.1 测试实验 |
| 5.5.2 真实数据集上的实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 第五章相关公式的计算 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）高等数学视角下的中学数学教学研究 ——以不等式内容为例（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 一、绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究内容与目的 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.4 不等式的发展史 |
| 1.5 相关概念的界定 |
| 二、文献综述 |
| 2.1 国外研究现状 |
| 2.2 国内研究现状 |
| 2.3 文献述评 |
| 三、初、高等数学中有关不等式证明问题研究的教学内容 |
| 3.1 不等式在课程标准中的体现 |
| 3.2 普通高中人教版A、B版本教材对比分析 |
| 3.3 初等数学中与不等式证明问题相关的教学内容 |
| 3.4 高等数学中与不等式证明问题相关的教学内容 |
| 四、近年高考试题中有关不等式证明的“高观点”试题分析 |
| 4.1 不等式在考试大纲中的体现 |
| 4.2 高考中以高等数学为背景的题型分析--不等式的证明问题 |
| 4.3 高考中运用高等数学方法解题的研究分析--不等式的证明问题 |
| 4.4 “高观点”下的不等式证明高考试题特点及教学分析 |
| 五、中学数学教师利用高等数学知识指导教学的调查及分析 |
| 5.1 调查目的及意义 |
| 5.2 调查对象 |
| 5.3 信度、效度分析 |
| 5.4 调查结果及分析 |
| 六、高等数学视角下的教学设计分析及建议 |
| 6.1 “高观点”下的不等式教学案例设计及分析 |
| 6.2 对实施“高观点”中学教学的建议 |
| 总结与反思 |
| 参考文献 |
| 附录一 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
| 伊犁师范大学硕士研究生学位论文导师评阅表 |
（7）黎曼流形上的增量次梯度方法及其收敛性分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 增量次梯度方法的研究背景和研究现状 |
| 1.2 黎曼几何的基础理论 |
| 1.3 黎曼流形上凸集和凸函数的相关理论 |
| 1.4 本文的内容与结构 |
| 第2章 黎曼流形上的增量次梯度方法在固定步长法则下的收敛性分析 |
| 2.1 黎曼流形上优化问题的增量次梯度方法 |
| 2.2 常数步长法则下方法的收敛性分析 |
| 2.3 缩减步长法则下方法的收敛性分析 |
| 2.4 优化问题举例 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 黎曼流形上的增量次梯度方法在动态步长法则下的收敛性分析 |
| 3.1 优化问题最优值已知时方法的收敛性分析 |
| 3.2 优化问题最优值未知时方法的收敛性分析 |
| 3.2.1 可达σ-最优的调节方法 |
| 3.2.2 基路径增量目标水平方法 |
| 3.3 黎曼流形上约束优化问题的增量次梯度方法 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 黎曼流形上的随机的增量次梯度方法及其收敛性分析 |
| 4.1 黎曼流形上随机的增量次梯度方法 |
| 4.2 固定步长法则下方法的收敛性分析 |
| 4.3 动态步长法则下方法的收敛性分析 |
| 4.4 黎曼流形上约束优化问题的随机的增量次梯度方法 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（8）凸函数与Jensen不等式在数学竞赛中的应用（论文提纲范文）
| 1凸函数与Jensen不等式 |
| 1.1凸函数的定义 |
| 1.2凸函数的判定 |
| 1.3 Jensen不等式的定义 |
| 2凸函数与Jensen不等式在数学竞赛中的应用举例 |
| 2.1在不等式方面 |
| 2.2在求最值方面 |
| 2.3在证明几何结论方面 |
| 3数学教育价值的讨论 |
| 3.1数学史的熏陶[1] |
| 3.2有利于数学思想与创新意识的培养 |
| 3.3数学美的体验 |
（9）几类新型梯度算法的设计与收敛性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.1.1 选题背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 梯度算法的临近格式 |
| 1.2.2 梯度算法的Bregman临近格式 |
| 1.2.3 梯度算法的增量格式 |
| 1.2.4 梯度算法的交替迭代格式 |
| 1.2.5 梯度算法的加速格式 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 第二章 基础知识回顾 |
| 2.1 基础定义 |
| 2.2 Moreau临近点算子 |
| 2.3 Bregman临近点算子 |
| 第三章 惯性临近增量累积梯度算法 |
| 3.1 iPIAG算法描述 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 3.2.1 强凸性条件下的线性收敛性 |
| 3.2.2 二次增长条件下的线性收敛性 |
| 3.3 数值试验 |
| 3.3.1 仿真算例 |
| 3.3.2 Lasso问题 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 外推Bregman临近梯度算法 |
| 4.1 BPGe算法描述 |
| 4.2 收敛性分析 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.3.1 泊松线性逆问题 |
| 4.3.2 二次逆问题 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 两类交替迭代算法 |
| 5.1 非凸临近交替极小化算法 |
| 5.1.1 PALM算法描述 |
| 5.1.2 收敛性分析 |
| 5.2 Bregman原对偶算法 |
| 5.2.1 PDBreg算法描述 |
| 5.2.2 收敛性分析 |
| 5.3 数值实验 |
| 5.3.1 高斯去噪问题求解 |
| 5.3.2 泊松去噪问题求解 |
| 5.4 本章小节 |
| 第六章 临近梯度算法的收敛性改进 |
| 6.1 临近梯度算法 |
| 6.1.1 两个重要引理 |
| 6.2 理论分析 |
| 6.2.1 主要结论 |
| 6.2.2 推论 |
| 6.3 小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 本文工作总结 |
| 7.2 未来工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 作者在学期间取得的学术成果 |
（10）无人机航迹规划问题的非凸优化算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 航迹规划算法发展现状 |
| 1.2.2 非凸优化方法在航天航空工程中的应用 |
| 1.3 本文的研究内容 |
| 1.4 本文的结构安排 |
| 第二章 非凸优化方法及无人机航迹规划模型 |
| 2.1 非凸性和凸化技巧 |
| 2.1.1 最优控制问题中的非凸性 |
| 2.1.2 凸化技巧 |
| 2.1.3 凸化的有效性 |
| 2.1.4 精确凸松弛 |
| 2.1.5 连续求解过程的收敛性 |
| 2.2 常用转化 |
| 2.2.1 绝对值目标函数 |
| 2.2.2 或约束 |
| 2.2.3 如果-那么约束 |
| 2.3 传统无人机航迹规划模型 |
| 2.3.1 系统方程 |
| 2.3.2 目标函数 |
| 2.3.3 避障约束 |
| 2.3.4 撞击避免约束 |
| 2.3.5 喷气避免约束 |
| 2.3.6 喷气避障约束 |
| 2.3.7 航迹规划模型 |
| 2.4 定义与定理 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 带有非凸控制约束的航迹规划问题的升维凸优化方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型描述 |
| 3.2.1 单无人机航迹规划模型 |
| 3.2.2 经典模型改进 |
| 3.2.3 松弛模型 |
| 3.3 升维凸优化广义Benders分解算法 |
| 3.3.1 必要模型 |
| 3.3.2 主要算法 |
| 3.4 定理与证明 |
| 3.5 应用仿真 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 带有非凸状态约束的航迹规划问题的序列凸优化方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型描述 |
| 4.3 序列凸优化 |
| 4.4 主要定理与证明 |
| 4.5 应用仿真 |
| 4.5.1 场景 1 |
| 4.5.2 场景 2 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 非凸最优控制问题的惩罚边界序列凸优化方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型描述 |
| 5.2.1 问题模型 |
| 5.2.2 约束边界上的新近似点 |
| 5.2.3 精确惩罚模型 |
| 5.3 惩罚边界序列凸优化 |
| 5.3.1 拉格朗日函数 |
| 5.3.2 KKT条件 |
| 5.3.3 主要算法 |
| 5.4 主要定理与证明 |
| 5.5 仿真与实验 |
| 5.5.1 直接线性化方法 |
| 5.5.2 无人机避障航迹规划 |
| 5.5.3 多移动机器人路径规划 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 带有逻辑约束的非凸航迹规划问题的惩罚序列凸优化方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 模型描述 |
| 6.2.1 改进的撞击避免约束 |
| 6.2.2 改进的喷气避免约束 |
| 6.3 惩罚序列凸优化算法 |
| 6.3.1 模型变换 |
| 6.3.2 惩罚策略 |
| 6.3.3 序列凸优化 |
| 6.3.4 采样间约束 |
| 6.3.5 主要算法 |
| 6.4 主要定理与证明 |
| 6.5 应用仿真 |
| 6.6 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 本文总结 |
| 7.2 未来展望 |
| 附录A 第二章仿真模型 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 攻读学位期间参与的项目 |
四、凸函数的性质及其在不等式证明中的应用（论文参考文献）
- [1]网络化系统分布式优化和隐私保护研究[D]. 吕庆国. 西南大学, 2021(01)
- [2]关于核函数机器和生存分析的两个经典统计推断问题的研究[D]. 刘田田. 华东师范大学, 2020(05)
- [3]并行与分布式随机学习算法研究[D]. 赵申宜. 南京大学, 2020(12)
- [4]基于多智能体网络的分布式（在线）约束优化算法研究[D]. 杨庆. 重庆大学, 2020(02)
- [5]几类非光滑优化问题的模型、算法及在点云匹配中的应用[D]. 马丽涛. 哈尔滨工业大学, 2020(01)
- [6]高等数学视角下的中学数学教学研究 ——以不等式内容为例[D]. 李海燕. 伊犁师范大学, 2020(12)
- [7]黎曼流形上的增量次梯度方法及其收敛性分析[D]. 张鹏. 哈尔滨工业大学, 2020(01)
- [8]凸函数与Jensen不等式在数学竞赛中的应用[J]. 王超琼. 数学教学, 2020(01)
- [9]几类新型梯度算法的设计与收敛性研究[D]. 张小亚. 国防科技大学, 2019(01)
- [10]无人机航迹规划问题的非凸优化算法研究[D]. 张哲. 上海交通大学, 2019(06)